การหาค่าสูงสุดของ $|P(-1)|$

ขั้นตอนที่ 1: วิเคราะห์ดีกรี $n$ ของพหุนาม

เริ่มต้นด้วยการพิจารณาเงื่อนไข $a_k \ge k$ และ $P(10) = 2025$ เพื่อหาค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ (ดีกรีของพหุนาม)

• กรณี $n=0$: $P(x) = a_0$.
  • จาก $P(1) = 135 \implies a_0 = 135$.
  • จาก $P(10) = 2025 \implies a_0 = 2025$.
  • เกิดข้อขัดแย้ง ($135 \ne 2025$) ดังนั้น $n \ne 0$.
• กรณี $n=1$: $P(x) = a_0 + a_1x$.
  • จาก $P(1) = 135 \implies a_0 + a_1 = 135$.
  • จาก $P(10) = 2025 \implies a_0 + 10a_1 = 2025$.
  • นำสมการที่สองลบด้วยสมการแรก: $9a_1 = 1890 \implies a_1 = 210$.
  • แทนค่า $a_1$ กลับไป: $a_0 = 135 - 210 = -75$.
  • แต่จากเงื่อนไข $a_k \ge k$: $a_0 \ge 0$. ค่า $a_0 = -75$ ขัดแย้งกับเงื่อนไข. ดังนั้น $n \ne 1$.
• กรณี $n \ge 3$: ถ้า $n=3$, $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$. จากเงื่อนไข $a_k \ge k$: $a_0 \ge 0$, $a_1 \ge 1$, $a_2 \ge 2$, $a_3 \ge 3$. พิจารณา $P(10) = a_0 + 10a_1 + 100a_2 + 1000a_3$. ค่าต่ำสุดของ $P(10)$ ที่เป็นไปได้เมื่อ $n=3$ คือ:
  $$ P(10) \ge 0 + 10(1) + 100(2) + 1000(3) = 0 + 10 + 200 + 3000 = 3210 $$
  แต่โจทย์กำหนดให้ $P(10) = 2025$. ค่าต่ำสุด $3210$ สูงกว่า $2025$. ดังนั้น $n$ ไม่สามารถเป็น $3$ หรือมากกว่าได้ ($n \not\ge 3$).

จากทั้งหมดนี้ สรุปได้ว่าดีกรีของพหุนาม $n$ จะต้องเป็น $2$ เท่านั้น

ขั้นตอนที่ 2: ตั้งสมการสำหรับ $n=2$

เมื่อเราทราบว่า $n=2$ เราสามารถเขียนพหุนามและเงื่อนไขใหม่อีกครั้ง:

• สมการพหุนาม: $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$
• เงื่อนไขสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม: $a_0, a_1, a_2 \in \mathbb{Z}$
• เงื่อนไข $a_k \ge k$:
  • $a_0 \ge 0$
  • $a_1 \ge 1$
  • $a_2 \ge 2$
• เงื่อนไข $P(1) = 135$:
  $$ a_0 + a_1 + a_2 = 135 \quad \ldots (1) $$
• เงื่อนไข $P(10) = 2025$:
  $$ a_0 + 10a_1 + 100a_2 = 2025 \quad \ldots (2) $$

ขั้นตอนที่ 3: แก้สมการเพื่อหาสัมประสิทธิ์ในรูปตัวแปรเดียว

เรามีสองสมการและสามตัวแปร $a_0, a_1, a_2$ เราจะใช้การกำจัดตัวแปรเพื่อลดรูปสมการ

นำสมการ (2) ลบด้วยสมการ (1):

หารตลอดด้วย $9$:

จากสมการ (3) เราสามารถเขียน $a_1$ ในรูปของ $a_2$ ได้:

ต่อไป เราจะเขียน $a_0$ ในรูปของ $a_2$ โดยใช้สมการ (1) และแทนค่า $a_1$:

ตอนนี้เราได้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดในรูปของ $a_2$:

• $a_0 = 10a_2 - 75$
• $a_1 = 210 - 11a_2$
• $a_2$ (เป็นตัวแปรหลักของเรา)

ขั้นตอนที่ 4: กำหนดช่วงที่เป็นไปได้ของ $a_2$

ใช้เงื่อนไข $a_k \ge k$ และ $a_k \in \mathbb{Z}$ เพื่อหาช่วงของค่า $a_2$ ที่เป็นไปได้

• เงื่อนไข $a_2 \ge 2$:
  $$ a_2 \ge 2 $$
  (จากโจทย์)
• เงื่อนไข $a_1 \ge 1$:
  $$ 210 - 11a_2 \ge 1 $$ $$ 209 \ge 11a_2 $$ $$ a_2 \le \frac{209}{11} $$ $$ a_2 \le 19 $$
• เงื่อนไข $a_0 \ge 0$:
  $$ 10a_2 - 75 \ge 0 $$ $$ 10a_2 \ge 75 $$ $$ a_2 \ge \frac{75}{10} $$ $$ a_2 \ge 7.5 $$

รวมเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับ $a_2$ ($a_2 \ge 2$, $a_2 \le 19$, $a_2 \ge 7.5$) และเนื่องจาก $a_2$ เป็นจำนวนเต็ม เราได้:

นี่คือช่วงค่าที่เป็นไปได้สำหรับ $a_2$

ขั้นตอนที่ 5: เขียน $P(-1)$ ในรูปของ $a_2$

เราต้องการหาค่ามากที่สุดของ $|P(-1)|$ ก่อนอื่นให้เขียน $P(-1)$ ในรูปของ $a_2$:

แทนค่า $a_0 = 10a_2 - 75$ และ $a_1 = 210 - 11a_2$ ลงในสมการสำหรับ $P(-1)$:

ตอนนี้เรามี $P(-1)$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ $a_2$ ซึ่งง่ายต่อการวิเคราะห์

ขั้นตอนที่ 6: หาค่ามากที่สุดของ $|P(-1)|$

เราต้องการค่ามากที่สุดของ $|P(-1)| = |22a_2 - 285|$ ในช่วง $8 \le a_2 \le 19$

เนื่องจาก $P(-1)$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กราฟเป็นเส้นตรง) ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของมันจะอยู่ที่จุดปลายของช่วง $a_2$ เท่านั้น:

• กรณีที่ 1: เมื่อ $a_2 = 8$ (ค่าต่ำสุดของ $a_2$)
  $$ P(-1) = 22(8) - 285 = 176 - 285 = -109 $$ $$ |P(-1)| = |-109| = 109 $$
  ค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้คือ: $a_2 = 8$, $a_1 = 210 - 11(8) = 122$, $a_0 = 10(8) - 75 = 5$. (ตรวจสอบแล้วสอดคล้องทุกเงื่อนไข: $a_0=5 \ge 0$, $a_1=122 \ge 1$, $a_2=8 \ge 2$)
• กรณีที่ 2: เมื่อ $a_2 = 19$ (ค่าสูงสุดของ $a_2$)
  $$ P(-1) = 22(19) - 285 = 418 - 285 = 133 $$ $$ |P(-1)| = |133| = 133 $$
  ค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้คือ: $a_2 = 19$, $a_1 = 210 - 11(19) = 1$, $a_0 = 10(19) - 75 = 115$. (ตรวจสอบแล้วสอดคล้องทุกเงื่อนไข: $a_0=115 \ge 0$, $a_1=1 \ge 1$, $a_2=19 \ge 2$)

เมื่อเปรียบเทียบค่า $|P(-1)|$ จากทั้งสองกรณี ($109$ และ $133$) ค่าที่มากที่สุดคือ $133$