การแก้ปัญหา: หาค่ามากที่สุดของ $(x-y)z$

ยินดีต้อนรับสู่ Panya AI! เราจะมาไขปริศนาทางคณิตศาสตร์นี้ไปพร้อมกัน โดยหาค่ามากที่สุดของนิพจน์ $(x-y)z$ ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

ขั้นตอนที่ 1: ทำความเข้าใจโจทย์และเงื่อนไขที่กำหนด

โจทย์กำหนดให้ $x, y, z$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยมีสมการ 2 สมการที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหา:

$$1. \quad x + z = 3y$$ $$2. \quad x^2 + y^2 + z^2 = 230$$

เป้าหมายของเราคือการหาค่ามากที่สุดของนิพจน์ $(x-y)z$ โดยที่ $x, y, z$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก

ขั้นตอนที่ 2: การจัดรูปและรวมสมการ

เราจะใช้สมการที่ 1 เพื่อลดตัวแปรและจัดรูปสมการที่ 2:

จาก (1): $x + z = 3y$
พิจารณาจากเอกลักษณ์กำลังสอง: $(x+z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$
ดังนั้น เราสามารถจัดรูป $x^2 + z^2$ ได้เป็น: $x^2 + z^2 = (x+z)^2 - 2xz$

นำค่า $x+z = 3y$ ไปแทนค่าในนิพจน์ $x^2+z^2$ ที่จัดรูปแล้ว:

$x^2 + z^2 = (3y)^2 - 2xz = 9y^2 - 2xz$

ทีนี้ นำค่า $x^2 + z^2$ ที่ได้ไปแทนในสมการที่ 2 ($x^2 + y^2 + z^2 = 230$):

$(9y^2 - 2xz) + y^2 = 230$
$10y^2 - 2xz = 230$

จัดรูปสมการใหม่เพื่อหานิพจน์สำหรับ $xz$ ในรูปของ $y$:

$2xz = 10y^2 - 230$
$xz = 5y^2 - 115 \quad (\text{สมการ A})$

ตอนนี้เรามีสองสมการหลักที่เชื่อมโยง $x, y, z$ คือ $x+z=3y$ และ $xz = 5y^2-115$

ขั้นตอนที่ 3: หาช่วงของค่า $y$ ที่เป็นไปได้

เนื่องจาก $x$ และ $z$ เป็นจำนวนจริง (และเราต้องการจำนวนเต็มบวก) เราสามารถมอง $x$ และ $z$ ว่าเป็นรากของสมการกำลังสอง $t^2 - (x+z)t + xz = 0$ เมื่อ $t$ คือตัวแปร

แทนค่า $x+z = 3y$ (จากสมการ 1) และ $xz = 5y^2 - 115$ (จากสมการ A) เข้าไปในสมการกำลังสอง:

$$t^2 - (3y)t + (5y^2 - 115) = 0$$

สำหรับการที่สมการกำลังสองจะมีรากเป็นจำนวนจริงได้นั้น ค่าดิสคริมิแนนต์ ($\Delta$) ต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ($\Delta \ge 0$)

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-3y)^2 - 4(1)(5y^2 - 115)$$ $$\Delta = 9y^2 - 20y^2 + 460$$ $$\Delta = -11y^2 + 460$$

กำหนดให้ $\Delta \ge 0$ เพื่อให้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงสำหรับ $x$ และ $z$:

$$-11y^2 + 460 \ge 0$$ $$460 \ge 11y^2$$ $$y^2 \le \frac{460}{11}$$ $$y^2 \le 41.818...$$

เนื่องจาก $y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ($y \in \mathbb{Z}^+$) ค่า $y^2$ ที่เป็นไปได้จึงต้องเป็นกำลังสองของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $41.818...$

ดังนั้น $y^2$ ที่เป็นไปได้คือ $1, 4, 9, 16, 25, 36$ เท่านั้น

นั่นหมายความว่า ค่า $y$ ที่เป็นไปได้คือ $\boxed{1, 2, 3, 4, 5, 6}$

ขั้นตอนที่ 4: ตรวจสอบแต่ละค่า $y$ และหา $x, z$

เราจะตรวจสอบแต่ละค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ จาก $y=1$ ถึง $y=6$ เพื่อหาคู่ของ $x, z$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก และคำนวณค่าของ $(x-y)z$

จากขั้นตอนที่ 2 เรามี:
$x+z = 3y$ (สมการ 1)
$xz = 5y^2 - 115$ (สมการ A)

กรณี: $y = 1$

$x+z = 3(1) = 3$
$xz = 5(1)^2 - 115 = 5 - 115 = -110$

ผลคูณ $xz = -110$ ซึ่งติดลบ
เนื่องจาก $x, z$ ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นผลคูณ $xz$ จะต้องเป็นบวกเท่านั้น
$\Rightarrow$ ค่า $y=1$ ไม่เป็นไปได้

กรณี: $y = 2$

$x+z = 3(2) = 6$
$xz = 5(2)^2 - 115 = 5(4) - 115 = 20 - 115 = -95$

ผลคูณ $xz = -95$ ซึ่งติดลบ
ดังนั้น ค่า $y=2$ ไม่เป็นไปได้

กรณี: $y = 3$

$x+z = 3(3) = 9$
$xz = 5(3)^2 - 115 = 5(9) - 115 = 45 - 115 = -70$

ผลคูณ $xz = -70$ ซึ่งติดลบ
ดังนั้น ค่า $y=3$ ไม่เป็นไปได้

กรณี: $y = 4$

$x+z = 3(4) = 12$
$xz = 5(4)^2 - 115 = 5(16) - 115 = 80 - 115 = -35$

ผลคูณ $xz = -35$ ซึ่งติดลบ
ดังนั้น ค่า $y=4$ ไม่เป็นไปได้

กรณี: $y = 5$

$x+z = 3(5) = 15$
$xz = 5(5)^2 - 115 = 5(25) - 115 = 125 - 115 = 10$

เราได้สมการกำลังสองสำหรับ $t$ (ซึ่งรากคือ $x$ และ $z$) เป็น:

$$t^2 - 15t + 10 = 0$$

หาค่ารากโดยใช้สูตร quadratic formula ($t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$):

$t = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)}$
$t = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 40}}{2}$
$t = \frac{15 \pm \sqrt{185}}{2}$

เนื่องจาก $\sqrt{185}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม (และไม่สามารถทำให้เป็นจำนวนเต็มได้) ดังนั้น $x$ และ $z$ จะไม่เป็นจำนวนเต็ม
$\Rightarrow$ ค่า $y=5$ ไม่เป็นไปได้

กรณี: $y = 6$

$x+z = 3(6) = 18$
$xz = 5(6)^2 - 115 = 5(36) - 115 = 180 - 115 = 65$

เราได้สมการกำลังสองสำหรับ $t$ (ซึ่งรากคือ $x$ และ $z$) เป็น:

$$t^2 - 18t + 65 = 0$$

หาค่ารากโดยการแยกตัวประกอบ:

$(t - 5)(t - 13) = 0$
ดังนั้น $t = 5$ หรือ $t = 13$

เราได้ค่า $t$ เป็นจำนวนเต็ม นั่นคือ $x$ และ $z$ คือ $5$ และ $13$
เป็นไปได้ 2 กรณี:
1. ถ้า $x=5, z=13$ (และ $y=6$)
2. ถ้า $x=13, z=5$ (และ $y=6$)

ตรวจสอบเงื่อนไข $x, y, z$ เป็นจำนวนเต็มบวก: ผ่าน!

คำนวณค่าของ $(x-y)z$ สำหรับแต่ละกรณี:

  • กรณีที่ 1: $x=5, y=6, z=13$
    $(x-y)z = (5-6)(13) = (-1)(13) = -13$
  • กรณีที่ 2: $x=13, y=6, z=5$
    $(x-y)z = (13-6)(5) = (7)(5) = 35$

ขั้นตอนที่ 5: สรุปผลลัพธ์และหาค่าสูงสุด

จากการตรวจสอบค่า $y$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ มีเพียงกรณีเดียวที่ให้ค่า $x$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก คือเมื่อ $y=6$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ 2 ชุด ดังนี้:

เมื่อเปรียบเทียบค่าทั้งสองคือ $-13$ และ $35$ ค่าที่มากที่สุดคือ $35$

ค่ามากที่สุดของ $(x-y)z$ คือ $\boxed{35}$